西大和
西大和学園中学校 入試分析 算数 2021(R3)
今回は西大和学園中学を扱います
【入試資料分析】
受験者→合格者(倍率) 合格最低点
男子：1047人→476人(2.2倍) 345点
女子：245人→70人(3.50倍) 363点
今年は女子の合格者が例年より多めの年になりました。
【問題分析】
大問１…基本的な問題であり、早く正確に答えて満点をとりたい。
(1)(2)計算問題、確実に合わせたい。
(3)5で何回割り切れるかということで、0が何個続くかの問題の応用。
(4)基本的な比の問題。
(5)濃度の問題、特に問題ないはず。
(6)(距離の比)は(速さの比)×(時間の比)など利用する旅人算。
大問２…(1)等積変形で扇形にできる。わかりやすい。
(2)…(あ)=∠BCA+∠PCH-∠PCA。難関校で出題されることが多く、点数をとりたい。
(3)高さを求めないといけないので、合同な三角形などがあって高さがわかるのではない
かと言う難関校で出題されやすいパターン。
(4)三角すいは立方体から切り落とし、四角すいは(3)でやっている。
数式になってきて、ここまでこれば実際には√2の問題。
大問３…(1)整数を並べる場合の数の問題。問題文がわかりにくく、訂正も多くて出ていて間違えそうなので下手に時間使わないように気を付けたい。
(2)大学受験などでもよくある典型的なタイルの漸化式の問題。
(n枚の場合)=(n-1枚の場合)＋(n-2枚の場合)×2
瞬殺したいところ。
(3)∠BACの2等分線と直線BDの交点をPとすると対称性から△ABPと△ACPは合同で
△CPDも合同な三角形ができる。恐らく正方形の中に1辺を共有する正三角形を書いた図形が元ネタと思われ、難しい問題は知られている図形の一部を出すことが多く、対称性を利用することで解けることがよくある。
大問４…今回はこれを扱いたいと思います。
(問題)R2 西大和学園中学 大問４
まっすぐな道を何台かの機械が同じ速さで同じ向きに30mの距離を空けて進んでいます。機械にはセンサーがついていて2秒ごとに前の機械との距離を測定し、30mより近づいたり離れたりした場合は、測定したときの前の機械の速さを基準にして、測定してからちょうど2秒後に距離が30mになっているようにみずからの速さを調整します。
機械が速さを変えるのは、前の機械との距離を測定して速さを決めるときだけで、測定が行われて、速さが決まれば、次の測定までの2秒間はその速さを変えることなく進みます。先頭の機械は測定を行いません。
また、後ろの機械が前の機械との距離を測定するのは、前の機械が速さを変えてから1秒後となるように、前の機械が速さを変える時刻と後ろの機械が測定する時刻をずらしています。
例として、下の図のように機械Aと機械Bが同じ向きにどちらも秒速20mで進んでいるときを考えます。秒速20mで進んでいた機械Aが、ある時刻に秒速15mに速さを変えると、その1秒後に、機械Aと機械Bとの距離は25mとなります。機械Bはその距離と機械Aが秒速15mで進んでいることを測定して、測定してから2秒後に機械Aとの距離がちょうど30mになっているように、秒速12.5mに速さを調整します。
ただし、機械Bが測定した1秒後に機械Aの速さが変わるかもしれないので、機械Bが測定した2秒後に2つの機械の距離がちょうど30mになっているとは限りません。
なお、機械の大きさ、測定するためにかかる時間、速さを変えるためにかかる時間は考えないものとします。
(1)上の例において、機械Bが速さを調整した1秒後に機械Aが再び速さを秒速20mに変えたとき、機械Aが最初に速さを変えてから3秒後について考えます。このとき、次の問いに答えなさい。
①機械Aと機械Bとの距離は何mですか。
②機械Bは秒速何mに速さを調整しますか。
後ろの機械が、前の機械に近づきすぎて、速さを変えても2秒後に30mの距離を空けられない場合は、その場で2秒間停止します。2秒後に前の機械との距離が30m以上であれば再び進み始め、30m未満であれば30m以上になるまで、2秒間停止を繰り返すようになっています。
(2)機械Aと機械Bが30mの距離を空けて、同じ向きに秒速20mの速さで進んでいます。秒速20mで進んでいた機械Aが、ある時刻に速さを秒速5mに変えると、機械Bは機械Aが速さを変えてから1秒後に停止しました。機械Aは最初に速さを変えてから4秒後に今度は秒速15mに速さを変えました。このとき、次の問いに答えなさい。
①機械Bが再び動き出すのは機械Aが最初に速さを変えてから何秒後ですか。
②機械Bが再び動き出すときの機械Bの速さは秒速何mですか。
(3)この機械がたくさん連なって、秒速20mで進んでいます。それぞれの機械と機械の間の距離は30mです。秒速20mで進んでいた先頭の機械が、ちょうど地点Pを通過したときに、秒速14mに速さを変えたところ、何台目か以降の機械が停止しました。
このとき、次の問いに答えなさい。ただし、先頭の機械は秒速14mに変えて以降、速さを変えないものとします。
①最初に停止する機械は、先頭の機械から数えて、何台目ですか。また、その停止した地点は地点Pから何m手前ですか。
②最初に停止した機械が地点Pを通過するのは、先頭の機械が地点Pを通過してから何秒後ですか。
[解説]
ひたすらに複雑です。
まず問題文を理解するということと、どのように処理して変化をあらわしていくのかが難しいところです。
そこでダイアグラムを描いてみることをここではやってみます。
ダイアグラムを描くことで問題文を把握できつつ、変化を表していくことが出来ます。
(1)
まず1秒後まではAは15m/秒で進い、Bは20m/秒で進むと1秒後にAとBは
30-(20-15)=25m
離れていることになります。
するとBは2秒間で30-25=5m距離を開けないといけないのでAよりも5÷2=2.5m/秒遅くなります。
15-2.5=12.5m/秒
しかしAは2秒後に20m/秒になるので20-15=5m距離をはなすことになり
3秒後のAとBの距離は30+5=35mとなります。
するとBは2秒間で35-30=5m距離を詰めないとけないのでAよりも
5÷2=2.5m/秒速くなります。
Bの速さは2+2.5=22.5m/秒となります。
(2)同じようにダイアグラムで整理していくと
1秒後にはAとBの距離は30-20+5=15m
3秒後にはBが止まっていても15+5×2=25mしかAとBは離れていないのでBは停止となります。
そして25mは30mより小さいので5秒後まで停止し続けます
4秒後にはAは15m/秒になるので5秒後にAとBは25+5+15=45m離れていることになります。
よってBは2秒間で45-30=15m距離をつめないといけないのでAよりも15÷2=7.5m/秒速くなります。
15+7.5=22.5m/秒
(3)同様にしてダイアグラムを描いていくと図のようになります。
最初に停止する機械は紫の前から4台目で停止した地点は地点Pから30m手前。
図より紫が地点Pを通過するのは5秒後から7秒後の間の19.75m/秒で進むときなので
5+30÷19.75=515/79秒後
基礎的な問題から難関校でよく出題されるという問題が多く、勉強をよくしてきた人にとっては大問４以外では取り組みやすい問題ではあったと思います。
大問４でも練習量で整理の仕方などに差がついてくると思います。
しっかり難関校で出されやすい問題を練習しておくことが安定した点数につなっていきます。頑張ってください(畠田)
西大和学園中学校 入試分析 算数 2020(R2)
今回は西大和学園中学を扱います
【入試資料分析】
受験者→合格者(倍率) 合格最低点
男子：1010人→541人(1.86倍) 325点
女子：209人→43人(4.86倍) 365点
今年は女子の合格最低点と倍率が例年より若干ゆるかったです。
【問題分析】
大問１…(1)(2)正統派な計算問題、必ずあわせたい。(3)簡単な仕事算、瞬殺したいです。(4)旅人算というほどでもない旅人算。(5)表に書いて整理で、特に関西の塾ならよく練習していると思います。(6)組み合わせと、完全順列を使いますが何も知らなくて数えあげればいいだけなので大して難しくありません。(7)フローチャートなどで求めましょう、よく練習していると思うので大丈夫だと思います。
大問２…(1)扇型と直角二等辺三角形を足したり引いたりしますが何となく求められると思います。(2)2つのブーメラン型を見つければすぐに出来るので、慣れている子も多いと思います。(3)何度もやらせてきた平行四辺形の比の問題です。(4)平均の高さで瞬殺です。大問２もスムーズに完答していきたい。
大問３…(1)今回はこれを扱います。(2)正四面体の4つの角を切り落とすと真ん中に正八面体が残るネタです。ハイレベルですが典型問題ですね。(3)TRとPCが平行なことに気付けばうまく解けますが、そんなこと考える人あればごり押しで長さを求めて力技で答えを出してしまいましょう。
大問４…見た感じは難しそう、複雑そうに見えますがそんなことはありません。大して場合分けも発生せずに逆にたどってみたりするだけなので満点を狙いたい。
ネタとしては箱は関数のことで逆関数の扱い方が背景にあります。
1:1の関係ならば逆の操作をすると数字は1つに決まりますが、そうでない場合は逆の操作をすると1つには決まらない場合があります。
(問題)R2 西大和学園中学 大問3(1)
①西さんは，紙に1,2,3,4,5,6,7と1から順に7つの数を書きました。このとき，7つの数の平均は[ あ ]です。大和くんが，その中の1つの数である[ い ]を消しゴムで消すと，残りの数の平均は3+1/2となりました。
②次に，西さんは，新しい紙に1,2,3,4,5,…と1から順に，[ う ]までの数を書きました。そして，大和くんが，その中の1つの数である[ え ]を消しゴムで消すと，残りの数の平均は32+1/3となりました。
[解説]
①は簡単に答えます。
7つの平均は(1＋7)÷2＝4
消した数は合計を考えて
4×7－(3+1/2)×6＝7
②機械的に数式は立てられますが、数学の問題としても面倒になってしまいます。
そこで①が誘導になっていないかを考えてみると、7を消すと平均値が4から3.5にかわりました。
一番大きいものを消しても平均値は大してかわらないことがわかります。
つまり32+1/3はほとんど平均値が32から33の間くらいに収まると思われるので64,65,66付近であると予想できます。
本番なら答えが一つに決まるはずなので試してしまったらよいですが、ここではしっかり式を立て説明したいと思います。
[ う ]に入る数をAとおいて
一番平均値が小さくなるのは一番大きなAを取り除いて(1＋A－1)/2＝A/2
より32+1/3≧A/2から64+2/3≧A
一番平均値が大きくなるのは一番小さい1を取り除いて(A＋2)/2
なので32+1/3≦(A＋2)/2から62+2/3≦A
これよりA=63か64に絞れます。
更に平均値が32+1/3と分母が3の分数であるということから，合計をA－1で割って平均値になったのでA－1は3の倍数であることがわかります。
したがってA＝64と決まります
消した数は合計を考えて
(1＋64)÷2×64－(32+1/3)×63＝43
とわかりました。
アプローチの仕方がわからないときは前の小問がヒントになっていることが多いので必ず考えてみるようにしましょう。そうすれば差をつけることが出来て合格間違いなしです！(畠田)
西大和学園中学校 入試分析 算数 2018(H30)
西大和学園中学校を取り扱います
受験者→合格者(倍率) 合格最低点
男子：1020人→471人(2.17倍) 284点
女子：277人→51人(5.43倍) 326点
女子の合格最低点がかなり高くなっています。
それでは答えはわかるかもしれないけど、その答えが正しいかを考えるのは難しい問題をとりあげます。
(問題)H30 西大和学園中学校 算数 大問4
図1は1辺の長さが1cmの正方形8個の辺をぴったりとくっつけて作った六角形です。この図形を図2のように4つに切りわけて，くっつけ直すと図3のような面積が8㎠の正方形になります。
(1)図1を3つに切りわけて面積が8㎠の正方形をつくりたいとき，どのように切りわければよいですか。解答用紙の図に線をかきこみなさい。
(2)図4は1辺の長さが1cmの正方形15個の辺をぴったりとくっつけて作った図形です。図5は図4の図形の中に正方形3個をぴったりとくっつけた長方形Xを5個をしきめたものです。このように図4の図形の中に長方形Xをしきつめる方法は，図5の場合をふくめて全部で何通りありますか。
(3)図6は1辺の長さが1cmの正方形64個の辺をぴったりとくっつけて作った1辺の長さが8cmの正方形です。この問題では1辺の長さが1cmの正方形を「小正方形」，1辺の長さが8cmの正方形を「大正方形」と呼ぶこととします。「大正方形」の中に，「小正方形」3個をぴったりとくっつけた長方形を21個しきつめたとき，しきつめられない「小正方形」が必ず1つあります。それはどの「小正方形」ですか。しきつめられない「小正方形」をすべて黒くぬりつぶしなさい。
(4)同じ大きさの正方形の頂点を1つの点に集めると図7のようにすきまなく並べることができます。このような正多角形は正方形をふくめて全部で何種類ありますか。
(1)このような問題は例に注目してみるとヒントになったりします。
正方形のマスの対角線2つ分が、くっつけ直してできた正方形の辺1つ分になることがわかります。
つまり正方形のマスの対角線4つ分を切るように切ればよいので例えば次のようになります。
(2)
図のように①の正方形のマス目に横に長方形を入れて②のマス目に縦に長方形を入れると残りは2通りの入れ方があります。
②のマス目に横に入れると残りは1通りに決まります。
①のマス目に縦に長方形を入れると残りは1通りに決まります。
合計4通りです。
(3)答えはわかるかもしれません。
前の問いがヒントになってることが多いので、それを元に考えると
図のようにすれば真ん中の4×4のところに(2)の入れ方をすればよいので右上の小正方形が空きます。
そして対称性から回転させて図の4箇所はしきめられない小正方形となりえます。
しかし本当にこれだけなのかはわかりません。
ここからは次の数学的な論法で考えます。
条件を満たすのはどの場合しかありえないか絞る(必要条件により絞る)
→実際にその場合は可能である例を挙げる(十分であることを言う)
まず次のように小正方形を白と青と緑に塗り分けます。
白は21個，青は22個，緑は21個あります。
青だけ1個多いです。
このように塗り分けると、どのように長方形を1つしきつめても白1個，青1個，緑1個を埋めることになります。
長方形を21個うめると、青だけ1個残ることになります。
つまりしきつめられない場所は青の部分に絞られます。
更に対称性を利用して青の部分の赤い直線について対称な部分を赤に塗ります。
しきつめられない場所は赤の部分でもなければなりません。
なので青と赤の共通部分の紫の部分に絞られます。
そして紫の部分がしきつめられない例はさきほど書いたように存在しているので紫の小正方形4箇所が答えとなります。
塗り分けは算数オリンピックでも使われているテクニックです。
(4)は簡単に書きます。
これも答えは簡単にわかりますが，それが正しいのか論理的に書いておきます。
すきまなく並べられる正多角形の内角は360°の約数であることから大きい方から360°と180°のぞいて120°,90°,…なので120°以下です。
そして正多角形の内角は正三角形の場合が一番小さく60°以上です。
正三角形は60°,正四角形は90°,正五角形は108°，正六角形は120°でこのうち360°の約数になってるのは60°,90°,120°の3種類とわかります。
試験中にしきつめられない箇所は4箇所しかないことを示すのは難しいとは思うので，まずは前の問いをヒントに答えを書けることが目標です。
余裕があれば何故正しいのか，解法の道具や，考え方も勉強すると答えに漏れがあるかもしれない意識が芽生え点数につながっていくと思います(畠田)
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