旅人算
西大和学園中学校 入試分析 算数 2021(R3)
今回は西大和学園中学を扱います
【入試資料分析】
受験者→合格者(倍率) 合格最低点
男子：1047人→476人(2.2倍) 345点
女子：245人→70人(3.50倍) 363点
今年は女子の合格者が例年より多めの年になりました。
【問題分析】
大問１…基本的な問題であり、早く正確に答えて満点をとりたい。
(1)(2)計算問題、確実に合わせたい。
(3)5で何回割り切れるかということで、0が何個続くかの問題の応用。
(4)基本的な比の問題。
(5)濃度の問題、特に問題ないはず。
(6)(距離の比)は(速さの比)×(時間の比)など利用する旅人算。
大問２…(1)等積変形で扇形にできる。わかりやすい。
(2)…(あ)=∠BCA+∠PCH-∠PCA。難関校で出題されることが多く、点数をとりたい。
(3)高さを求めないといけないので、合同な三角形などがあって高さがわかるのではない
かと言う難関校で出題されやすいパターン。
(4)三角すいは立方体から切り落とし、四角すいは(3)でやっている。
数式になってきて、ここまでこれば実際には√2の問題。
大問３…(1)整数を並べる場合の数の問題。問題文がわかりにくく、訂正も多くて出ていて間違えそうなので下手に時間使わないように気を付けたい。
(2)大学受験などでもよくある典型的なタイルの漸化式の問題。
(n枚の場合)=(n-1枚の場合)＋(n-2枚の場合)×2
瞬殺したいところ。
(3)∠BACの2等分線と直線BDの交点をPとすると対称性から△ABPと△ACPは合同で
△CPDも合同な三角形ができる。恐らく正方形の中に1辺を共有する正三角形を書いた図形が元ネタと思われ、難しい問題は知られている図形の一部を出すことが多く、対称性を利用することで解けることがよくある。
大問４…今回はこれを扱いたいと思います。
(問題)R2 西大和学園中学 大問４
まっすぐな道を何台かの機械が同じ速さで同じ向きに30mの距離を空けて進んでいます。機械にはセンサーがついていて2秒ごとに前の機械との距離を測定し、30mより近づいたり離れたりした場合は、測定したときの前の機械の速さを基準にして、測定してからちょうど2秒後に距離が30mになっているようにみずからの速さを調整します。
機械が速さを変えるのは、前の機械との距離を測定して速さを決めるときだけで、測定が行われて、速さが決まれば、次の測定までの2秒間はその速さを変えることなく進みます。先頭の機械は測定を行いません。
また、後ろの機械が前の機械との距離を測定するのは、前の機械が速さを変えてから1秒後となるように、前の機械が速さを変える時刻と後ろの機械が測定する時刻をずらしています。
例として、下の図のように機械Aと機械Bが同じ向きにどちらも秒速20mで進んでいるときを考えます。秒速20mで進んでいた機械Aが、ある時刻に秒速15mに速さを変えると、その1秒後に、機械Aと機械Bとの距離は25mとなります。機械Bはその距離と機械Aが秒速15mで進んでいることを測定して、測定してから2秒後に機械Aとの距離がちょうど30mになっているように、秒速12.5mに速さを調整します。
ただし、機械Bが測定した1秒後に機械Aの速さが変わるかもしれないので、機械Bが測定した2秒後に2つの機械の距離がちょうど30mになっているとは限りません。
なお、機械の大きさ、測定するためにかかる時間、速さを変えるためにかかる時間は考えないものとします。
(1)上の例において、機械Bが速さを調整した1秒後に機械Aが再び速さを秒速20mに変えたとき、機械Aが最初に速さを変えてから3秒後について考えます。このとき、次の問いに答えなさい。
①機械Aと機械Bとの距離は何mですか。
②機械Bは秒速何mに速さを調整しますか。
後ろの機械が、前の機械に近づきすぎて、速さを変えても2秒後に30mの距離を空けられない場合は、その場で2秒間停止します。2秒後に前の機械との距離が30m以上であれば再び進み始め、30m未満であれば30m以上になるまで、2秒間停止を繰り返すようになっています。
(2)機械Aと機械Bが30mの距離を空けて、同じ向きに秒速20mの速さで進んでいます。秒速20mで進んでいた機械Aが、ある時刻に速さを秒速5mに変えると、機械Bは機械Aが速さを変えてから1秒後に停止しました。機械Aは最初に速さを変えてから4秒後に今度は秒速15mに速さを変えました。このとき、次の問いに答えなさい。
①機械Bが再び動き出すのは機械Aが最初に速さを変えてから何秒後ですか。
②機械Bが再び動き出すときの機械Bの速さは秒速何mですか。
(3)この機械がたくさん連なって、秒速20mで進んでいます。それぞれの機械と機械の間の距離は30mです。秒速20mで進んでいた先頭の機械が、ちょうど地点Pを通過したときに、秒速14mに速さを変えたところ、何台目か以降の機械が停止しました。
このとき、次の問いに答えなさい。ただし、先頭の機械は秒速14mに変えて以降、速さを変えないものとします。
①最初に停止する機械は、先頭の機械から数えて、何台目ですか。また、その停止した地点は地点Pから何m手前ですか。
②最初に停止した機械が地点Pを通過するのは、先頭の機械が地点Pを通過してから何秒後ですか。
[解説]
ひたすらに複雑です。
まず問題文を理解するということと、どのように処理して変化をあらわしていくのかが難しいところです。
そこでダイアグラムを描いてみることをここではやってみます。
ダイアグラムを描くことで問題文を把握できつつ、変化を表していくことが出来ます。
(1)
まず1秒後まではAは15m/秒で進い、Bは20m/秒で進むと1秒後にAとBは
30-(20-15)=25m
離れていることになります。
するとBは2秒間で30-25=5m距離を開けないといけないのでAよりも5÷2=2.5m/秒遅くなります。
15-2.5=12.5m/秒
しかしAは2秒後に20m/秒になるので20-15=5m距離をはなすことになり
3秒後のAとBの距離は30+5=35mとなります。
するとBは2秒間で35-30=5m距離を詰めないとけないのでAよりも
5÷2=2.5m/秒速くなります。
Bの速さは2+2.5=22.5m/秒となります。
(2)同じようにダイアグラムで整理していくと
1秒後にはAとBの距離は30-20+5=15m
3秒後にはBが止まっていても15+5×2=25mしかAとBは離れていないのでBは停止となります。
そして25mは30mより小さいので5秒後まで停止し続けます
4秒後にはAは15m/秒になるので5秒後にAとBは25+5+15=45m離れていることになります。
よってBは2秒間で45-30=15m距離をつめないといけないのでAよりも15÷2=7.5m/秒速くなります。
15+7.5=22.5m/秒
(3)同様にしてダイアグラムを描いていくと図のようになります。
最初に停止する機械は紫の前から4台目で停止した地点は地点Pから30m手前。
図より紫が地点Pを通過するのは5秒後から7秒後の間の19.75m/秒で進むときなので
5+30÷19.75=515/79秒後
基礎的な問題から難関校でよく出題されるという問題が多く、勉強をよくしてきた人にとっては大問４以外では取り組みやすい問題ではあったと思います。
大問４でも練習量で整理の仕方などに差がついてくると思います。
しっかり難関校で出されやすい問題を練習しておくことが安定した点数につなっていきます。頑張ってください(畠田)
甲陽中学校 算数（2日目） 2021(R3)入試分析
甲陽学院中学算数2日目の問題をとりあげます。
1日目の記事で書いたように2日目の平均点はここ数年では一番高くなりました。
高い得点率での勝負になります。
【問題分析】
大問１…(1)基本的な場合の数。あわせたい。(2)正誤問題です、倍数の基本的な内容なのであわせたい。
大問2…これ以上約分できない分数の総和の問題。(1)(平均値)×(個数)で素早く求めたい。(2)色々な解法があると思いますが1,2,3,…,12のうち12と互いに素なのは1,5,7,11の4つなので区間が1大きくなると4ずつ大きくなっていくなど方法があります。
大問3…直方体の切断。かなり普通の問題なのできっちりあわせたい。
大問4…平面図形の相似などを利用した標準的な面積の問題。あわせたい。
大問5…旅人算の問題。今回はこれを扱います。
大問6…普通の8進法の問題。瞬殺したい。
それでは大問5にいきます。
(問題)R3 甲陽学院中学校 算数（第2日） 大問5
太郎君と次郎君が午前7時に家を出発し、歩いて公園に向かいました。太郎君の歩く速さは次郎君の歩く速さの1.2倍です。午前7時44分に忘れ物に気づいた太郎君は走って家に戻る途中、A地点で次郎君とすれちがいました。午前8時8分に家に着いた太郎君はすぐに公園に向かい同じ速さで走り出しました。その後、太郎君がふたたびA地点に来たとき、次郎君はその2975m先にいました。
(1)太郎君が次郎君とすれちがった時刻は午前何時何分何秒ですか。
(2)太郎君の走る速さは分速何mですか。
[解説]
(1)
まず状況図を描いてみます。
太郎君と次郎君の歩く速さの比は1.2:1=6:5
また太郎君は家から折り返し地点まで歩いて
7時44分－7時=44分
折り返し地点から家まで走って
8時8分－7時44分=24分
より道のりが同じ時、速さの比は時間の逆比になるので
太郎君の歩く速さと走る速さの比は24:44=6:11
同じ時間では道のりは速さに比例するので太郎君が○から☐まで進んだ距離を⑥とすると次郎君が○から☐のところまで進んだ距離は⑤
⑥を太郎君は歩くと44分かかる
走っている太郎君と次郎君が向かい合って進んで⑥－⑤＝①の距離を進んですれ違うのにかかる時間は
(太郎君の歩く速さ):(太郎君の走る速さ＋次郎君の歩く速さ)=6:(11+5)=3:8
より
44×1/6×3/8=11/4
したがってすれ違った時刻は
7時44分+11/4分=7時46分45秒
(2)
×から△まで8時8分－7時46分45秒=85/4分
よって×から☆までは85/4×2=85/2分かかる
次郎君は2975mを85/2分で進むので太郎君の走る速さは
2975÷85/2×11/5=143m/分
状況図を描いて甲陽らしい流れではありましたが、ダイアグラムを描いても機械的に解けます。困ったときはダイアグラムを描いても良いと思います。
標準的な問題は多かったですが、甲陽で出題されそうな問題ではありました。
だからしっかり対策をして点数をとって合格に近づきましょう！(畠田)
聖光学院中学校 算数 問題解説＆入試分析★2018年(H30年)
今回は聖光学院をとりあげます
第1回は受験者数は640人、合格者数は240で実質倍率は2.67倍
科目別得点結果は(科目，満点，平均点，合格者平均，合格最低点)の順に
(国語，150，104.2，93.8，69)
(算数，150，94.1，117.0，62)
(理科，100，65.9，72.9，49)
(社会，100，68.8，74.1，56)
(合計，500，32.5，368.3，341)
です。
やはり算数が受験平均と合格者平均の差が大きいですが，差をつけやすそうな問題だと思います。
それでは実力の差が出そうな旅人算の問題です。
(問題)H30 聖光学院中学校 大問3
聖さんと光さんがP地点からQ地点に向かって，同時に同じ速さで出発しました。光さんは途中で忘れ物に気づき，そのままの速さですぐにP地点に向かって戻りました。学さんは光さんが忘れ物に気づいて6分後に，光さんの忘れ物を持って，P地点からQ地点に向かって出発しました。その後しばらくすると，学さんは戻ってきた光さんと出会い，2人は一緒に学さんが歩いてきた速さでQ地点に向かって進みました。学さんの歩く速さは聖さんの歩く速さと同じだったので，光さんと学さんがQ地点に到着したのは，聖さんがQ地点に到着してから22分後になりました。
もし，学さんの歩く速さが聖さんの歩く速さの5/3倍で，光さんと学さんが出会った後，2人が一緒に学さんが歩いてきた速さでQ地点に向かって進んだとすると，光さんと学さんがQ地点に到着するのは聖さんがQ地点に到着してから24秒後になります。また，学さんの歩く速さが聖さんの歩く速さよりも1分あたり20m速く，光さんと学さんが出会った後，2人が一緒に学さんが歩いてきた速さでQ地点に向かって進んだとすると，光さんと学さんがQ地点に到着するのは聖さんがQ地点に到着してから10分後になります。
このとき，次の問いに答えなさい。
(1)光さんと学さんが出会ったのは，聖さんと光さんがP地点を出発してから何分後ですか。
(2)聖さんがQ地点に到着したのは，学さんがP地点を出発してから何分後ですか。
(3)P地点からQ地点までの距離は何kmですか。
(1)ダイアグラムか状況図かと言うところです。
ダイアグラムでも大丈夫ですが、そんなに複雑ではないので状況図で書いてやってみます。
まず最初の速さが3人とも同じの場合を考えます。
同じ時刻のところは同じ印をつけます。
旅人算では何が一定なのかを考えることが大切です。
3人とも速さは同じで距離が時間に比例するので、距離を時間で考えることができます。
PQは青＋緑ですが学さんの□からQまでは22分より青は22分に対応します。
光さんの×からRまで6分より，○からRまでは22－6＝16分
よってから△の紫2つは16－6＝10分より紫1つは5分に対応します。
したがって光さんと学さんが出会ったのは○から△までの時間で16＋6＋5＝27分後とわかります。
(2)同じように旅人算では何が一定なのかを考えます。
聖さんと学さんが進む距離がPQで同じなので、速さの比と時間の比は逆比です。
速さの比は
聖：学＝1：5/3＝3：5より
PQにかかる時間の比は
聖：学＝5：3
なのでPQを進むのに聖のかかる時間⑤分，学のかかる時間③分とおけます。
時間の差⑤－③＝②分は22－24/6＝108/5分より
②＝108/5
①＝54/5
よって聖さんのPQ進むのかかる時間は⑤＝54分，求める緑にかかる時間は54－22＝32分とわかりました。
(3)同じく何が一定なのかに注目します。
聖さんと学さんは同じPQを進みます。
PQを進むのにかかる時間の比は
聖：学＝54：(54－22＋10)
＝54：42
＝27：21
速さの比は逆比で
聖：学＝21：27
よって聖の速さ㉑m/分，学の速さ㉗m/分とおけてこの差㉗－㉑＝⑥は20m/分より
⑥＝20から
①＝10/3
聖の速さは㉑＝70m/分
よってPQは70×54＝3780mつまり3.78kmとわかりました。
がっちりと旅人算で使う考え方がはまる問題です。
同じ時刻は同じ印をつける，距離，速さ，時間の何が一定なのかを考えることを意識して練習して合格点を狙いにいきましょう。(畠田)
豊島岡女子学園中学校 算数 問題 解説＆入試分析★2018年(H30年)
豊島岡女子学園中学校第1回の問題をとりあげます。
旅人算の難易度が高めの問題です。
(問題)H30年 豊島岡女子学園中学第1回 大問4
家と公園の間に図書館があります。AさんとBさんが家から公園までそれぞれ一定の速さで歩きます。Aさんは，家から公園まで20分かかります。Aさんが家から図書館まで歩くのにかかった時間と，Bさんが図書館から公園まで歩くのにかかった時間の合計は22分です。また，Bさんが家から図書館まで歩くのにかかった時間と，Aさんが図書館から公園まで歩くのにかかった時間の合計は23分です。このとき，次の各問いに答えなさい。
(1)Bさんが家から公園まで歩くのにかかった時間は何分ですか。
(2)Aさんが家から図書館まで歩くのにかかった時間は何分ですか。
(3)AさんとBさんが家を同時に出発し，また同時にCさんが分速360mで走る車で公園を出発し家へ向かいました。また，BさんはAさんとCさんが出会った地点を，AさんとCさんが出会ってから1分後に通過しました。家から公園までの距離は何kmですか。
(1)
線分図で足したり引いたりして、B:家→公を作ります。
Aは赤，Bは青です。
かかる時間で考えて
{(A:家→図)＋(B:図→公)}＋{(B:家→図)＋(A:図→公)}－(A:家→公)＝22＋23－20 分
より
(B:家→公)＝25 分
(2) (1)の問題から家→公までAは20分，Bは25分より同じ距離を歩くときの時間の比は
A:B＝20:25＝4:5
となります。
家→図までのAのかかる時間ですが，和や差で考えるとうまくいくことがあります。
{(B:家→図)＋(A:図→公)}と(A:家→公)の差は(A:家→図)と(B:家→図)の差になります。家→図の同じ距離より，それぞれかかった時間をAは④，Bは⑤とおけて
23-20＝3分が⑤－④＝①に等しいので①＝3
よってAさんが家から図書館まで歩くのにかかった時間は④＝3×4＝12分とわかりました。
(3)まず同じ時刻は同じ記号で状況図を書いて整理してみます。
準備としてAとBの速さの比を求めておくと，家→公までにかかった時間の逆比で
A:B＝20:25＝4:5
同じ時間であれば，距離は速さの比になります。
Cは紫です。
すると⑤－④＝①の部分がBが1分で進む距離に相当します。
と言うことはB:○→△まで④はBの4分相当より○→△の時間は4分です。
これでC:○→△の距離は360×4＝1440mとわかります。
B:家→公は距離㉕，A:○→△は距離⑤より，C:○→△は距離㉕－⑤＝⑳
よって⑳＝1440なので家から公園までの距離は
1400×25/20＝1800m
つまり1.8kmとわかりました。
旅人算のレベルが高めの考え方、道具を使うので勉強するのにも良い問題です。
しっかり勉強していけば報われます！(畠田)
甲陽中学校 算数2018(H30)入試分析 （2日目
甲陽二日目の甲陽らしい旅人算の問題をとりあげます。
(問題)H30 甲陽学院中学校 算数（第2日） 大問4番
池のまわりにある1周420mの道をA,B,Cの3人がそれぞれ一定の速さで歩いて回ります。この道のある地点を3人が同時に同じ向きに出発しました。出発してから4分40秒後にはじめてAがCを追いこし，出発してから8分24秒後にはじめてAがBを追いこしました。
(1)はじめてBがCを追いこすのは出発してから何分何秒後ですか。
(2)Bがこの道を歩いてちょうど6周回る間に，Aに3回追いこされ，Cを2回追いこしました。Bの歩く速さは毎分何mと何mの間ですか。ただし，Bが6周回ったとき，AとCは出発した地点にいません。
(1)差の速さで考えます。
速さは求めなくても、比で解けますが(2)のことも考えて速さを出すことにしました。
4分40秒＝14/3分でAとCの進んだ距離の差は1周の420mになるので
A－C＝420÷14/3＝90m/分
8分24秒＝42/5分でAとBの進んだ距離の差は1周の420mになるので
A－B＝420÷42/5＝50m/分
したがって
B－C＝90－50＝40m/分
より420÷40＝10分30秒
とわかります。
(2)何が一定なのかを考えることが大切です。
Bが6周回る間の時間で考えるので、時間が一定で距離が速さに比例します。
もう一つ大切なポイントは追いこした回数は周った回数の差です。
BがAに3回追いこされたということはBが6周すると，Aは6＋3＝9周目から6＋4＝10周目の間にいます。
するとAとBとA－Bの速さの比はそれぞれ次の表のようになります。
したがってBの速さは
50×6/3＝100m/分
と
50×6/4＝75m/分
の間になります。
同じようにしてBはCを2回追いこしたのでBが6周すると，Cは6-2＝4周目から6-3＝3周目の間にいます。
BとCとB-Cの速さの比は次の表のようになります。
なのでBの速さは
40×6/2＝120m/分
と
40×6/3＝80m/分
の間になります。
以上から80m/分と100m/分の間になります。
どういう考え方を使うことが多いか？意識して問題を練習をしていけば解法が見えてくることがあるのでたくさん勉強してください(畠田)
甲陽中学校 算数（1日目） その1 2018(H30)入試分析
甲陽学院中学1日目の問題をとりあげたいと思います。
受験者数 389名→363名→350名→349名→317名→382名→369名→402名
合格者数 218名→216名→219名→219名→215名→220名→219名→222名
実質倍率 1.78倍→1.68倍→1.60倍→1.59倍→1.47倍→1.74倍→1.68倍→1.81倍
今年は例年よりも高い倍率となりました。
各科目の得点情報は
受験者平均
国語① 64.9→49.4→63.1→62.0→56.5→53.6→55.2
国語② 59.9→59.0→69.5→49.3→60.7→59.7→52.8
算数① 56.0→49.8→60.3→62.1→58.3→58.9→62.1
算数② 54.0→56.3→61.4→53.1→47.5→54.3→58.3
理科 54.7→52.1→67.9→53.7→59.8→56.9→47.9
合格者平均
国語 132.0→114.9→138.1→117.7→125.4→119.9→117.1
算数 128.6→122.6→138.3→127.2→119.0→130.5→141.4
理科 58.8→58.1→71.7→57.1→59.8→60.6→53.3
算数の(①の平均点)＋(②の平均点)は
110.0→106.1→121.7→115.2→105.8→113.2→120.4
これと合格者平均との差は
18.6→20.5→16.6→12→13.2→17.3→21
例年に比べて少し差がつきやすかったようです。
それでは1日目の甲陽らしい速さの問題を取り上げます。
(問題)H30 甲陽学院中学校 算数（第1日） 大問3番
太郎，次郎，三郎は，直線道路で結ばれたA市とB市の間をそれぞれ一定の速さで一往復します。太郎と三郎はA市を，次郎はB市を同じ時刻に出発し，出発してから15分後に太郎と次郎ははじめて出会いました。そして，次郎がA市に着いたとき，太郎と三郎ははじめて出会いました。さらに，太郎と次郎が折り返したあと出会ったのは，はじめて出会った地点から600mだけA市に近い地点でした。
(1)太郎と次郎が折り返したあと出会ったのは，はじめて出会ってから何分後ですか。
(2)太郎と次郎の速さの差は，毎分何mですか。
(3)三郎の速さが毎分45mです。A市とB市は何m離れていますか。
(1)太郎君と次郎君が最初に出会うと二人の歩いた距離の和はAB1つ分で15分かかり、次に出会うまでの距離の和はAB2つ分なので15分×2＝30分後になります。
(2)
○から×までを15分間、×から□までが30分間です。
太郎と次郎が初めて出会ってからの30分間に進む距離を考えると図から
(太郎：×から□まで)－(次郎：○から×までの2倍)＝600m
なので太郎と次郎の速さの差は
600÷30＝20m/分
とわかります。
(3)
○から×までのそれぞれの進んだ距離を考えて
(三郎の進んだ距離)は速さ45m/分から㊺
(太郎の□から×)までが太郎と次郎の速さの差20m/分から⑳
とおくと
(太郎の進んだ距離)＝㊺＋⑳＋⑳
(次郎の進んだ距離)＝㊺＋⑳
となり
太郎の速さは45＋20＋20=85m/分
次郎の速さは45＋20＝65m/分
したがってABの距離は(85＋65)×15＝2250mとわかります。
同じ時刻は同じ記号を使うなど状況図を描いて、時間が一定の場合は速さと距離は比例します。
何が一定なのか？を意識して練習していけば点数に結びついていくのでがんばりましょう。(畠田)
お問い合わせは
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【関東】03-5731-8390