洛南
洛南高等学校附属中学校 算数 2021(R3)入試分析
今回は洛南高等学校附属中学校を取り扱います。
【入試資料分析】
倍率例年通りでした。
やはり女子の難易度が高いです。
受験者数→合格者数(実質倍率)
男子：530人→219人(2.42倍)
女子：263人→81人(3.25倍)
専願の合格者最低点は男子で236点，女子で276点
併願は男女295点。
合格者平均点は
国語：3科型で106.8 4科型で109.4
算数：3科型で107.4 4科型で95.5
理科：3科型で77.5 4科型で72.3
社会：4科型のみで78.5
総合：3科型で291.7 4科型で280.5
算数は昨年はかなり平均点が高くなりましたが今年は例年程度の平均点に戻りました。
洛南らしい面白い問題も出題されています。
【問題分析】
大問１…計算問題です。2021=43×47のネタはやはりあります。満点とりたい。
大問２…(1)割り切れる整数の個数の問題。総和なので(平均値)×(個数)も使える。あわせよう、
(2)不定方程式の問題、定番ですね。瞬殺したい。
(3)虫食い算。2021×(エオカキ)=3969244でだいたい4000000より少し小さいと考えると(エオカキ)の上2桁は19と絞れていきます。
あわせておきたい。
(4)二等辺三角形と言うよりは△DAC≡△BAEがポイント。そんなに難しくなくても意外と見落としそうです。
(5)例えば△EBCを上に平行移動してBCをADにくっつけて平行四辺形に等積変形すれば底辺12cm、高さ6cmとわかる。処理は簡単でも意外とわかりにくかったと思われる。
(6)定番の小立方体をあつめてペンキを塗る問題。瞬殺したい。
大問３…標準的な2点が移動する問題。得点確保したい。
大問４…濃度の問題であるが、面積図や天びん法などではなく、食塩水の重さは食塩の重さの定数倍になっていることを利用する面白い問題。
良い比の問題なのでぜひやってみて欲しい。
大問５…操作の問題。周期性がある。定番の方法を組み合わせると良いので勉強した人にとって点数は稼ぎやすい。
大問６…難関校では定番で何度か出されているような問題です。今回はこれを扱いたいと思います。
それでは問題を見ていきましょう！
(問題)R3 洛南高等学校附属中学校 算数 大問6
1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺EF,FG,GH,HEの真ん中の点をそれぞれI,J,K,Lとし、2直線IKとJLとの交点をMとします。このとき、次の体積はそれぞれ何cm³ですか。
(1)四角すいA-GKMJ
(2)2つの四角すいA-GKMJとC-EIMLの重なる部分
(3)2つの四角すいC-EIMLとD-FJMIの重なる部分
(4)立方体から4つの四角すいA-GKMJ,B-HLMK,C-EIML,D-FJMIをのぞいた後に残る部分
[解説]
(1)3×3×6÷3=18cm³
(2)面AEFBの方向から見ると図のようになります。
よって地面から0cm,2cm,3cmの高さで地面と平行な面で切った断面をそれぞれ考えます。
○高さ3cm
図のようにA-GKMJの断面は青い正方形、C-EIMLの断面は赤い正方形になるので
2つの正方形が共有している部分は1点のみ。
○高さ2cm
図のようにA-GKMJとC-EIMLの断面はどちらも黒い斜線部の1辺の長さ2cmの正方形
○高さ0cm
図のようにA-GKMJの断面は青い正方形、C-EIMLの断面は赤い正方形になるので
2つの正方形が共有している部分は1点のみ。
よって図のように1辺の長さ2cmの正方形を底面とした高さ1cmの四角すいと高さ2cmの四角すいを合体させた立体になるので体積は
2×2×(2+1)÷3=4cm³
(3)
同様に地面から0cm,2cm,3cmの高さで地面と平行な面で切った断面をそれぞれ考えます。
○高さ3cm
C-EIMLの断面は赤い正方形、D-FJMIの断面は青い正方形になるので
2つの正方形が共有している部分は3/2cmの黒の1辺
○高さ2cm
図のようにA-GKMJとC-EIMLの断面はどちらも黒い斜線部の1辺の長さ2cmの正方形
○高さ0cm
図のようにA-GKMJの断面は青い正方形、C-EIMLの断面は赤い正方形になるので
2つの正方形が共有している部分は1点のみ。
よって図のように断頭三角柱を2つ合体させた立体になるので体積は
2×1÷2×(3/2+2+2)/3+2×2÷2×(3+2+2)/3=13/2cm³
(4)
(2)のA-GKMJとC-EIMLの重なる部分の立体は
(3)のC-EIMLとD-FJMIの重なる部分の立体の中に含まれる。
よって
A-GKMJを赤、B-HLMKを青、C-EIMLを紫、D-FJMIを緑としてベン図を描くと次のようになります。
13/2-4=5/2
18-4-5/2×2=9
よって赤または青または紫または緑の部分の体積は
9×4+5/2×4+4=50
求める体積は
6×6×6-50=166cm³
※ベン図を4つの円で描くと全てのパターンは出てこなくて描けない。
楕円を使うなど一般的に描ける方法は存在する。
今年の洛南はいくつか面白い問題もありつつ。しっかり対策すれば点数は確保できる問題もそれなりにありました。まずは難関校でよく出題される定石は固めて点数を確保しておきましょう！(畠田)
洛南高等学校附属中学校 算数 2020(R2)入試分析
今回は洛南高等学校附属中学校を取り扱います。
【入試資料分析】
倍率も平均点も例年通りで、相変わらず女子の難易度が高いです。
受験者数→合格者数(実質倍率)
男子：536人→219人(2.45倍)
女子：248人→75人(3.3倍)
専願の合格者最低点は男子で236点，女子で268点
併願は男女281点。
合格者平均点は
国語：3科型で96.8 4科型で98.2
算数：3科型で119.2 4科型で110.1
理科：3科型で62.5 4科型で55.0
社会：4科型のみで77.2
総合：3科型で278.4 4科型で274.8
算数はここ数年でもっとも平均点が高くなりました。
合格者平均点は8割程度であり，難しくて解けないと思われる問題や、大して処理が複雑な問題も少なかったのでしっかり高得点を狙ってほしいです。
【問題分析】
大問１…計算問題です。計算力というよりは工夫して計算する問題が多く、思いつきやすいので簡単に満点がとれると思います。
大問２…(1)～(4)まで典型問題が並んでいるのでバシバシ解きましょう、今回はこの(5)を解説します。
大問３…流速の問題です。上りと下りの速さをだしダイアグラムを書くをなど典型的な手法で出来るので満点を狙いましょう。
大問４…(1)(2)は次々とマスが決まっていくのですぐに出せたと思います。(3)は色々なやり方が考えられそうですが、平方数に注目して4の倍数は1直線に並ぶ，9の倍数は1直線に並ぶなど絞っていけます。しかし泥臭く根性で求めるくらいでいいです。
大問５…余りの問題です。すべて余りが一番大きくなる場合は不足が1と考えるなど、やったことあるようなことを聞かれています。いいやり方が思いつかなくても，4,5,6だけで書き下して規則性を見つけるなどして何とか解きましょう。泥臭くごり押しで求められることは重要です。
大問６…切断の問題です。ハイレベルではありますが、工夫しないと解けないというわけでなく典型的な問題なので落ちてついて点数を狙いましょう。
(問題)R2 洛南高等学校附属中学校 算数 大問2 (5)
図の斜線部の面積は[オ]cm^2です。
AB:BC＝2:1
[解説]
このような直角三角形や正方形の欠片が見えるような問題は，正方形を合同な直角三角形4つと小さい正方形にわけられた図を考えるとうまくいくことがあります。
三角形ADCをACの中心で180°回転させて三角形CEAを考えると
緑とオレンジと紫の三角形は全て斜線部の直角三角形と合同になります。
そしてAB:BC＝2:1とAF:FC＝1:2なのでAF:FB:BC＝1:1:1となり
EF//DBよりAS:SP＝AF:FB＝1:1
したがって(斜線部の直角三角形の面積)：(正方形RSPQの面積)＝2×1÷2:1×1＝1:1
なので斜線部の直角三角形の面積は
(正方形ADCE)÷5＝5×5÷5＝5cm^2
このように要領よく解けなくても、泥臭くやれば解けるのでやってみてください。
泥臭くやることも大切です。
色々やってみることでアプローチの幅が広がり点数が安定してくると思います。(畠田)
洛南高等学校附属中学校 算数 2019(H31)入試分析
今回は洛南高等学校附属中学校を取り扱います。
【入試資料分析】
倍率も平均点も例年通りですが，今回は専願の男子より女子が今回は40点ぐらいあり相変わらず女子の難易度が高いです。
受験者数→合格者数(実質倍率)
男子：533人→208人(2.56倍)
女子：286人→79人(3.62倍)
専願の合格者最低点は男子で201点，女子で240点
併願は男女255点。
合格者平均点は
国語：3科型で90.4 4科型で93.5
算数：3科型で100.7 4科型で90.3
理科：3科型で58.8 4科型で55.5
社会：4科型のみで69.7
総合：3科型で249.4 4科型で246.7
算数はあまり無茶な問題はなく，差が出やすく影響が大きいのでしっかり勉強して点数をとりたいです。
【問題分析】
○大問１
計算問題です。
単に複雑な計算をするのではなく，意図のある問題ばかりです。
どう計算していけばいいか，計算問題の解法を勉強して軽く満点とりましょう。
(1)きっちり括弧や分数が処理が出来るかって問題です。
1/2－1/3＝1/6,1/2÷0.75－4/9＝2/3－4/9＝2/9
12×1/6－2/9×9＝0
(2)いっけん等差数列かなと見せかけて、そうでもないですが等差数列と同じように足す順番を工夫すれば良いです。
93+7=100,89+11=100,83+17=100,71+29=100,59+41=100,53+47=100で相殺されていき真ん中の50が残ります。
(3)分数の計算を素因数分解に注意しておこないます。
954－459－25×16+0.4=954－459－400+0.4=95.4
1/12+1/84+1/210=(35+5+2)/(5×7×12)=42/(5×7×12)=1/10
なので954
(4)25の倍数の問題です。
0.375×24＝(0.375×4)×6＝1.5×6＝9
2.5×0.625×16＝(2.5×4)×0.25×(2.5×4)＝25
25×12＝(25×4)×3＝300
125×16＝(125×4)×4＝2000
より(9+25)×19－300+2000－14×19＝(34－14)×19+1700＝2080
(5)1×1×1+3+5+3×3×3+13+15+17+19+5×5×5+31+33+35+37+39+41
この並びを見ると1×1×1が1,3×3×3が7+9+11,5×5×5が21+23+25+27+29になれば奇数の足し算になって都合がよさそうですが実際そうなります。
何故そうなるかと言うと，真ん中がA×AでA個の連続する等差数列の和はA×AがA個でA×A×Aだからです。
よって41は(41+1)÷2＝21で21番目の奇数より和は21×21＝441となります。
○大問２
そこそこ難しい洛南らしい平面図形の問題です。
わかりにくい問題もありますが、典型的な解法を組み合わせたらできます。
(1)2つの正三角形が1つの頂点を共有してる問題は，正三角形の性質から辺が同じ長さ，60°から共通の角をひいて同じ大きさの角が見つかり，合同になる三角形が見つかるパターンが多いです。
この問題も△AGDと△AECが合同です。
よって∠AGF=60°，∠FEC=∠AGD－∠AEF=60°より∠FCE=∠GAF=14°とわかり
FB=FCより∠FBC=∠FCBから(あ)＝(14°+60°)÷2－14°＝23°とわかります。
(2)
図のよう30°の直角三角形は正三角形の半分と考えます。
同じ角度に印をつけて相似を見つけることできて
OCの長さは8－2＝6cm
アの面積が4×8÷2＝16cm²に対してイの面積は16－4×2÷2＝12となり面積は12/16＝3/4倍となります。
よって△OAB:△ODE=1:(3/4)×(3/4)×(3/4)×(3/4)×(3/4)
=1024:243
とわかります。
(3)
図のように正方形中央について点対称になるように線を引くのが一つのパターンです。1辺の長さが2cmの正方形と1cm,3cmの直角三角形4つができるので
2×2＋1×3÷2×4＝10cm²
○大問３
(1)は少し状況がわかりにくいですが、単純な問題なのであわせたいところです。
(2)は少しひねられている食塩水の問題です。天秤法を使って図をよく見て対称性に気付けば簡単で，出来れば正解したい。
(1)
地点AとBの間の距離は
50×130＝6500m
花子さんが地点AからBまで進むのにかかる時間は39km/時＝650m/分より
6500÷650＝10分
花子さんが地点BからAに戻るのにかかる時間は(6500－1300)÷650＝8分
1往復した花子さんは太郎君がAを出発して10＋8＝18分後にAを出発し，太郎君は130後にB到達，花子さんは18＋10＝28分後にBに到達するので18：(130－28)＝3：17より花子さんがAを初めて追い越すのでは130×3/(3+17)＝19.5分＝19分30秒後
また花子さんの動きは10+8＝18分間の繰り返しより
130÷18＝7余り4分より7回繰り返してから，太郎君は4分でBに到達するのでこの間花子さんに追い越されることはなく7－1＝6回
(2)
エ
図より⑤＝10-2＝8%より①=1.6%
オ
図より対称性から④=100gで①＝100÷4＝25gずつ交換すればよい
カキ
図より⑧/⑩＝4/5倍ずつとなり8×4/5×4/5×4/5×4/5＝2048/625＜4で4回
○大問４
実際使ってる時計と目盛りと針の進み方が違いますが、やることは時計算と同じです。
似た問題は多いのでしっかり練習しておきたいです。
(1)②の条件より短針と重なるのは短針の目盛り9つ進むごとである。
一周は15目盛りで9と15のLCMは45なので45目盛りで再びOに同時に重なる。
45÷15＝3より短針は3周
長針は短いを45÷9＝5回追い抜いたので3＋5＝8周
(2)③の条件より長針は12時間で8周するので360×8÷(12×60)＝4°/分
短針は12時間で3周より360×3÷(12×60)＝1.5°/分
(3)1目盛りで360÷15＝24°
長針は24÷4＝6分ごと，短針は24÷1.5＝16分ごとに目盛りを指す
6と16のLCMは48より48分ごとに同時に目盛りを指すので同時に目盛りを指すのは
12×60÷48＝15回。重なる場合を除いて15－5＝10回
(4)6時間から7時間つまり360分間～420分間で48分の倍数は
360÷48＝7余り24より8×48＝384だけなので6時間24分後
そのとき長針は384×4÷24＝64より64÷15＝4余り4で，4の目盛りを指します。
○大問５
切断の問題です。(1)は絶対解けないといけません。(2)は水面は図形を傾けるのではなく，底面に平行な面で切った切り口であるという見方をします。典型的なパターンを組み合わせて出来る問題なのでしっかり勉強してとれるようにしておくと差をつけることができます。
(1)
頂点うちしてください。
(2)
水面は切り口に平行になるので，切り口に平行に切断してできた立体の体積を9で割れば良いので，点I,J,Gを通る平面に平行な面で切っていきます。
同じ平面内や平行な平面同士では，切り口の直線は平行になります。
(ア)青い線で切りとられた部分の体積を9で割って
(6×6×12÷6－(3×3×6÷6)×2)÷9＝6秒後
(イ)赤い線で切り取られた部分の体積を9で割って
(6×6×6－6×6×12÷6)÷9＝16秒後
(ウ),(ア)と同じだけ水が入ればよいので16+6=22秒後
○大問６
今回はこの問題を扱いと思います。
○大問７
じゅず順列
((総数)－(対称))÷2＋(対称)
の応用です。
勉強していれば、簡単に確実にとれる問題です。
回転して重なるものも違う並び方として数えたものをA通り，中央に点対称なものをB通りとすると，点対称でないものは120°ずつ回転を考えると重複して3回数えてることになるので(A－B)÷3＋B通り
となります。
(1)点対称なものはないので2×2×2＝8通り
(2)
点対称なものはマス目1,2の塗り方を考えればよいので2×2＝4通り
よって(2×2×2×2×2×2－4)÷3＋4＝24通り
(3)点対称なものはマス目1,2,3の塗り方を考えて2×2×2＝8通り
よって(2×2×2×2×2×2×2×2×2－8)÷3＋8＝176通り
それでは大問6をとりあげます。
小さい場合で調べて、問題を把握していく練習をしてるかどうかで差ができます。
(問題)H31 洛南高等学校附属中学校 算数 大問6
0と書かれたカード[0]と1と書かれたカード[1]がそれぞれたくさんあり，それらの中から何枚かのカードを取り出して横一列に並べます。そして，次の<<規則>>にしたがって並べ替えます。
<<規則>>
カードの並びが[0][1]となっているところのみを，すべて同時に[1][0]に入れ替える。
(例)
[1][0][1][0][1][1]は，3回並べ替えると[1][1][1][1][0][0]になりました。
(1)7枚のカードを次の(ア),(イ)のように並べます。それぞれ何回並べ替えると
[1][1][1][1][0][0][0]になりますか。
(ア)[1][0][1][0][1][0][1] (イ)[1][0][0][1][1][0][1]
(2)7枚のカードを，[1][ ][ ][ ][ ][ ][1]となるように並べます。
3回並べ替えると[1][1][1][1][0][0][0]になる並べ方は，何個ありますか。
(3)7枚のカードを，[1][ ][ ][ ][ ][ ][1]となるように並べます。
4回並べ替えると[1][1][1][1][0][0][0]になる並べ方は，何個ありますか。
(4)10枚のカードを，[1][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][1]となるように並べます。
6回並べ替えると[1][1][1][1][ ][ ][ ][ ][ ][ ]になる並べ方は，何通りありますか。
[解説]
(1)
まずはやってみて、問題をつかめと言うことです。
(ア)
[1][0][1][0][1][0][1]→
[1][1][0][1][0][1][0]→
[1][1][1][0][1][0][0]→
[1][1][1][1][0][0][0]で3回
(イ)
[1][0][0][1][1][0][1]→
[1][0][1][0][1][1][0]→
[1][1][0][1][0][1][0]→
[1][1][1][0][1][0][0]→
[1][1][1][1][0][0][0]で4回
こうやって見ると0を空き，1を球と考えて球は左に移動していき，左が空いていれば移動できる，空いてなければ移動できないと解釈できます。
ここから簡単に[0]を○，[1]を●と書きます。
一番右の●が左にある●にぶつかると移動するのに回数が増えるので右の方の並べ方で回数が決まることになります。
一番左は●なので残り2つの●の位置を考えればよくなります。
(A)
…●●●は
…●●●→
…○●●→
…●○●
で以下毎回，一番右の●は移動できるので毎回移動した場合より＋2回多くなります。
これは●の場所が全て決まるので1通りです。
この場合をAとします。
(B)
…○●●は
…○●●→
…●○●
で以下毎回，一番右の●は移動するので＋1回
これは残り●1つを((カードの総数)－4)の場所から選べばよいので((カードの総数)－4)通り
この場合をBとします。
(C)
…●●○●は
…●●○●→
…○●●○→
…●○●●
で以下毎回，一番右にあった●は移動するので＋1回
これも●の場所が全て決まるので1通り
この場合をCとします。
他の並びは全て毎回一番右の●が移動します。
(2)
全部で並べ方は，両端以外の5つの場所から●になるところを2つ選んで
(5×4)/(2×1)=10通り
10－(Aの場合)－(Bの場合)－(Cの場合)＝10－1－(7－4)－1＝5通り
(3)
+1回になるには
(Bの場合)＋(Cの場合)＝(7－4)＋1＝4通り
(4)
全部で並べ方は両端以外の8つの場所から●になるところを2つ選んで
(8×7)/(2×1)＝28通り
一番右の●が毎回移動すればよいので
28－(Aの場合)ー(Bの場合)－(Cの場合)＝28－1－(10－4)－1＝20通り(畠田)
洛南高等学校附属中学校 算数 2018(H30)入試分析
今回は洛南高等学校附属中学校の算数を1問とりあげます。
入試状況
受験者数→合格者数(実質倍率)
男子：551人→210人(2.62倍)
女子：254人→71人(3.58倍)
専願の合格者最低点は男子で209点，女子で232点
女子の難易度が高いことで有名ですね。
合格者平均点は
国語：3科型で80.6 4科型で85.3
算数：3科型で94.9 4科型で85.3
理科：3科型で73.9 4科型で72.1
社会：4科型のみで75.9
総合：3科型で249.4 4科型で244.8
算数の得点の差と社会の得点率を考えると、3科は算数を稼げるようにしたいところです。
今年は立体図形はよく見かける問題でしたが、平面図形の問題は難しいようでした。
その図形問題から全国的にも難しかったであろう1問をとりあげたいと思います。
(問題)H30 洛南高等学校附属中学校 算数 大問4(3)
図の円の半径は5cmです。[ ]にあてはまる数を答えなさい。
まず円の中心と頂点を結んでみます。
そして同じ角度のところに○を書いていきます。
台形なので図のように青い破線を延長すると∠OCDと∠ODCも錯角の関係から○です。
すると緑と黄と紫は相似で5:5:6の二等辺三角形となります。
AC＝6×6/5＝36/5
CO＝AC－AO＝36/5－5＝11/5
CD＝11/5×6/5＝66/25
よって
□＝(DB＋CD÷2)×2
＝(6－66/25＋66/25÷2)×2
＝234/25 cm
とわかりました。
難しい問題でも同じような取り組み方で対処できることが多いので、色々な問題で練習してみましょう！(畠田)
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