今回は麻布中学校の問題を取り上げます。
【入試資料分析】
去年に続いて倍率が高めになりました
出願者数 1016名
合格者数 383名
倍率2.65
最高点 151/200
最低点 110/200
配点は国語60点算数60点理科40点社会40点
【問題分析】
大問１…比の問題です。差を考えたら☐が消えるので比をあわせられるという文章問題の計算でよくある問題です。しっかり取りましょう。
大問2…(1)90°の扇形から直角二等辺三角形を引きます。これは確実におさえましょう。(2)工夫が必要です。下にも円を描いて4等分の直線を伸ばしたりなどすれば見えてきやすいかもしれません。考えてみてください。
大問3…(1)場合の数の典型です。瞬殺してください。(2)3で割った余りをグループ分けすると余り1のグループ1と4，余り2のグループ2と5、余り0のグループ3と6で偶数と奇数が1個ずつですね。ぜひやってみてください。シンプルですが思考が必要なうまい問題です。
大問4…食塩の問題です。天びん法で特に迷いなく解けます。これは確実にとりたい。
大問5…やはり麻布は正六角形の問題をだしてきます。円と正三角形のマスの直線との接点に注目してください。
1/6の場所を考えて6倍すればよいので丁寧にかけばそれほど難しくないと思います。
大問6…麻布お決まりの最後の重い問題です。これを扱います。
(問題)2020年度 麻布中学校 算数 大問4
周の長さが1mの円があります。図1のように，この円の周上を点Aは反時計回りに，点Bは時計回りにそれぞれ一定の速さで動きます。点Aと点Bは地点Pから同時に動き始め，2点が同時に点Pに戻ったら止まります。以下の問いに答えなさい。
(1)点Aの動く速さと点Bの動く速さの比が3:5のとき，点Aと点Bが同時に地点Pに戻って止まるまでに，2点P以外で何回すれ違いますか。
(2)点Aの動く速さと点Bの動く速さの比がア:イのとき，点Aと点Bが同時に地点Pに戻って止まるまでに，2点は地点P以外で14回すれ違いました。このとき，ア:イとして考えらえるものをすべて，できるだけ簡単な整数の比で答えなさい。ただし，点Aよりも点Bの方が速く動くものとします。また，解答らんはすべて使うとは限りません。
次に，周の長さが1mの円を図2のように2つ組み合わせます。これらの円の周上を，点Aと点Bはそれぞれ一定の速さで次のように動きます。
・点Aは5つの地点P,Q,R,S,Tを，P→Q→R→P→S→T→Pの順に通りながら，繰り返し8の字を描くように動く。
・点Bは5つの地点P,Q,R,S,Tを，P→T→S→P→R→Q→Pの順に通りながら，繰り返し8の字を描くように動く。
点Aと点Bは地点Pから同時に動き始め，2点が同時に地点Pに戻ったとき止まります。以下の問いに答えなさい。
(3)点Aの動く速さと点Bの動く速さの比が3:8のとき，点Aと点Bが同時に地点Pに戻ってとmなるまでに，2点A,Bが動いた道のりは合計何mですか。また，2点は地点P以外で何回すれ違いますか。
(4)点Aの動く速さと点Bの動く速さの比がウ:エのとき，点Aと点Bが同時に地点Pに戻って止まるまでに，2点は地点P以外で6回すれ違いました。点Aよりも点Bの方が速く動くものとすると，ウ:エとして考えられるものは9通りあります。これらをすべて，できるだけ簡単な整数の比で答えなさい。
[解説]
(1)と(2)は簡単に答えます。
(1)Aが3周するとBは5周するので3＋5－1＝7回
(2)アとイの比をもっとも簡単な整数であらわしたものをA,Bとおくと
AとBは互いに素でA＜Bなので
A＋B＝14＋1＝15より
(A,B)＝(1,14),(2,13),(4,11),(7,8)
(何故互いの素な場合なのか考えてみてください)
(3)
まずは実験してみましょう。
3:8なので3＋8＝11より円1周分の長さを[11]とします。
1回目のすれ違いは二人の進んだ距離の和は円2周分です。
この時Aの進んだ距離は[22]×3/11＝[6],Bの進んだ距離は[22]×8/11＝[16]
となります。
次に2回目のすれ違いは同じようにAをさらに[6]進ませて[6]＋[6]＝[12]なのでPから[1]進めたところです。Bは[16]＋[16]＝[32]進んでいます。
するとAを[6]進ませていって点を打っていけばよいことがわかります。
二人が同時に点Pにつく3＋8＝11周分、つまりAが[11]×11×3/11＝[33]進めたところまで考えればいいので打っていくと
5回目のすれ違い[30]から次は[3]進んで[33]となります。
何故最後だけ円1周分なのかと言うと，点Pは重なっている点なので直前のすれ違いから二人の進んだ距離の和が円1周分で点Pに戻ることがあるわけです。
以上のことより答えを求めるだけの計算としてはAは円3周分進むとBは円8周分進むので3＋8＝11
2＋2＋2＋2＋2+1＝11より2が5つで5回となります。
(4) (3)についてもう少し考えると11は奇数でしたがAとBの速さの比が3:7の場合なら3＋7＝10で偶数です。
このときは全部円2周分ずつで点Pに到達します。
まとめるとAとBの速さの比を最も簡単な整数であらわしたときに
和が奇数であれば二人の進んだ距離の和が円2周ごとにすれ違い最後は円1周分で同時にPに到達
和が偶数であれば二人の進んだ距離の和が円2周ごとにすれ違い最後も円2周分で同時にPに到達
○二人の進んだ距離の和が円2＋2＋2＋2＋2＋2＋1＝13周分となるとき
AとBは互いに素でA＜BとしてA＋B＝13に注意して
(A,B)＝(1,12),(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)
○二人の進んだ距離の和が円2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝14周分となるとき
同様にして
(A,B)＝(1,13),(3,11),(5,9)
となります。
麻布の最後の問題は具体的にやってみて実験することでわかってきます。
ぜひ自分で一つずつすれ違ったポイントを計算して追ってみたりしてやってみましょう。(畠田)
