麻布中学校　算数　問題解説＆入試分析★2019年(H31年)

今回は麻布中学をとりあげます。

【入試資料分析】

今年は例年に比べて倍率が高い年となりました

出願者数 1037名
合格者数 376名
倍率2.76
最高点 145/200
最低点 100/200
配点は国語60点算数60点理科40点社会40点

【問題分析】
○大問１
麻布定番の不定方程式です。
勉強すれば簡単な分野なので対策をして確実にとりましょう。

(1)A,B,Cの部屋の人数をa,b,cとして
AとCの温度の差は9－7＝2度より
0.3×a－0.1×c=2
となればよくて10倍して整理して
3×a－c=20
a|7|8|9|…
c|1|4|7|…
となるのでBの室温がもっとも高くなるにはBの人数が多い、つまりa+cが小さいときになるので
(c,a)=(1,7)の場合になります。

(2)
(1)の組み合わせの時にA,Cの温度が同じになることを利用してやってみます。
つる亀算のこういう複雑な場合は，表を書いてどう変化していくかを考える整理の仕方があります。
A,Cの温度をAC,Bの温度をBとして

でaの人数を1人増やすとACの温度は9.4－9.1＝0.3度上がり，Bの温度は14.6－13.8＝0.8度下がるので0.3＋0.8＝1.1度，差が縮まる。
よって(14.6－9.1)÷1.1＝5よりACは9.1から5人分温度があがれよいので
9.1＋0.3×5＝10.6度
関西ではつるかめ算はこういう風に表を書いて処理する方法を教えることが多く，東京では面積図を教えることが多いですが両方使えるようにして大きい人間になりましょう。

○大問２
ダイアグラムを書いてみるのがお決まりの処理です。
東京の学校で，しかも麻布となるとダイアグラムをかくとうまく問題をつかみやすいことが多いです。
まずは何かわからないけど，とりあえずダイアグラムを書くで良いと思います。
(1)ダイアグラムを書くと

青文字のところが10分－9分40秒＝20秒＝1/3分とわかり
赤い部分に注目すれば太郎君とバスの進む長さが同じだから時間の比と速さの比が逆比になるので
(太郎君の速さ):(バスの速さ)＝(バスの時間):(太郎君の時間)＝(3+1/3):1/3
＝10:1
とわかりますね。

次の問題のために10:1を使って緑のところが6分と2/3分と求めておきます。

(2)

ダイアグラムをかきますが，5/2倍速い太郎君と，バスの速さの比を求めておきます。
(速太郎君の速さ):(バスの速さ)＝1×5/2:10＝1:4
よってかかる時間は逆比より図の赤い部分において③,④,①とおけます。
すると③＝6より①＝2分とわかるので☐の部分は1分とわかります。
緑のところに注目すると1:4を使って時間がそれぞれわかります。
速太郎君は4分で720m進むので720÷4＝180m/分
太郎君は180÷5/2＝72m/分＝72÷60m/秒＝1.2m/秒
とわかりました。

○大問３
切断の問題です。
きちんと長さを出せば求まるので，正解したいところです。

図より(白い部分):(赤い部分)＝(上の平行四辺形):(下の台形)ですが上の平行四辺形と下の台形は高さが同じなので
(白い部分):(赤い部分)＝(7＋7):(7+56/11)＝22:19

○大問４
3と7のLCMは21で3,6,…21が9個なので9個のセットに注目して規則性を考えます。
(1)
3+6+7+9+12+14+15+18+21=105
(2)
簡単な場合で考えてみると
2番目から10番目の和は
6+7+9+12+14+15+18+21+24=126
7+9+12+14+15+18+21+24+27=147
で21ずつ大きくなるので
77番目から85番目の和は
105+(77－1)×21=1701
(3)
1番目から99番目の和は
(1番目から9番目の和),(10番目から18番目の和),(19番目から27番目の和),…,(91番目から99番目の和)
を考えて初項105，公差が21×9=189の等差数列の1～11番目までの和なので
(105+105+21×9×10)÷2×11=11550

(4),(2)と同じように考えると
(1～99番目の和),(2～100番目の和),(3～101番目の和),…
は21×11=231ずつ大きくなる
よって(128205－11550)÷231=505より1+501=506番目

○大問５
今回はこの問題を扱いと思います。
毎年最後の問題を扱っていますが，麻布は最後の問題に見たことないような自分でその場で規則性を見い出す重厚な問題を出します。

(問題)H31年　麻布中学校　算数　大問5
中心に回転できる矢印が2本取り付けられた円盤があります。まず，この円盤の円周を7等分する位置に目盛りを振ります。さらに，図1のように，1から7までの数字が書かれた7枚のコインを各目盛りの位置に1枚ずつ置き，2本の矢印を1と2の数字が書かれたコインの方へ向けます。
ここで，次の【操作】を考えます。
【操作】矢印が向いてる目盛りの位置にある2枚のコインを入れ替え，その後2本の矢印をそれぞれ2目盛り分だけ時計回りに回す。

図1の状態から1回【操作】を行うと図2のようになり，さらに1回【操作】を行うと図3のようになります。

この操作について，以下の問いに答えなさい。

(1)図1の状態から7回【操作】を行うと，7枚のコインの位置と2本の矢印の向きはどうなりますか。下の図に1から7までの数字と2本の矢印をかき入れなさい。

(2)図1の状態から何回【操作】を行うと，1の数字が書かれたコインの位置と2本の矢印の向きが図1と同じになりますか。最も少ない回数を答えなさい。ただし，【操作】は1回以上行うものとします。

(3)図1の状態から何回【操作】を行うと，全てのコインの位置と2本の矢印の向きが図1と同じになりますか。最も少ない回数を答えなさい。ただし，【操作】は1回以上行うものとします。

次に，円盤の円周を90等分する位置に目盛りを振り直します。さらに，図4のように，1から99までの数字が書かれた99枚のコインを各目盛りの位置に1枚ずつ，1から順に時計回りに置き，2本の矢印を1と2の数字が書かれたコインの方へ向けます。

(4)図4の状態から何回【操作】を行うと，全てのコインの位置と2本の矢印の向きが図4と同じになりますか。最も少ない回数を答えなさい。ただし，【操作】は1回以上行うものとします。

[解説]
(1)まずは簡単な場合でやってみて、問題をつかめということですね。
1234567
↓
2134567
↓
2143567
↓
2143657
↓
7143652
↓
7413652
↓
7416352
↓
7416325
となります。

(2)2本の矢印が元に戻るのは操作が7の倍数の回の時なので操作が7の倍数回のことを考えます。
肝になるのは操作をシンプル化することです。
(1)より7回操作をすると1は3の位置に移動するので、これを1→3と書くと
1→3
3→5
5→7
7→1
と2目盛りずつ時計回りに進んでいきます。
よって7回の操作が4回で7×4＝28回とわかりました。

(3)奇数の動きはわかったので偶数をみると
2→6→4→2
なので2目盛りずつ反時計回りに進んでいき3回の操作で元に戻ります。
よって7と4と3の最小公倍数を考えたらよいので
7×4×3＝84回

(4)
7枚のときと同じように考えて99回操作すると奇数は2目盛り時計回りに移動して，偶数は2目盛り反時計回りに移動します。
よって奇数㋒は50回，偶数は49回で元に戻るので
99と50と49の最小公倍数を考えて
99×50×49＝242550
とわかりました。

背景には群論がありますが，肝は操作のシンプル化です。
こういう処理の仕方、整理の仕方を覚えていくとアプローチできるようになってきます。(畠田)