今回は麻布中学をとりあげたいと思います。
出願者数933人
合格者数378人
倍率2.45
合格最低点106/200
配点は国語60点算数60点理科40点社会40点です。
今年の算数は処理が複雑なものはほとんどなく、小問により誘導されているのでやりやすかったかもしれません。
それでは麻布恒例の最後の実験をして掴んでいく問題をとりあげます。
(問題)H30年 麻布中学校 算数 大問6
2をN個かけ合わせてできる数を＜N＞と表すことにします。例えば
＜3＞＝2×2×2＝8,＜5＞＝2×2×2×2×2＝32
となります。ただし，＜1＞＝2と約束します。
(1)＜1895＞の一の位の数字は何ですか。
(2)＜12＞＋＜2＞と＜13＞＋＜3＞を計算しなさい。
(3)＜2018＞の下2桁を答えなさい。
ここで，下2桁とは十の位と一の位の数字の並びのことです。例えば，1729の下2桁は29で，1903の下2桁は03です。
(4)＜53＞の下3桁は992です。＜N＞の下3桁が872となるNを2つ求めなさい。ここで，下3桁とは百の位から一の位までの数字の並びのことです。
(1)2をかけていくことを考えます。
一の位には十以上の位の数字から影響を受けません。
一の位だけ考えて
＜1＞は2
＜2＞は2×2＝4
＜3＞は4×2＝8
＜4＞は8×2＝16で6
＜5＞は6×2＝12で2
より＜1＞と＜5＞で一の位が等しいので2,4,8,6の周期4の繰り返しとなります。
1895÷4＝473…あまり3
より＜1895＞の一の位は＜3＞の一の位と等しくて8とわかります。
(2)＜12＞＋＜2＞＝4096＋4＝4100
＜13＞＋＜3＞＝2×4100＝8200
(3)麻布の最後の問題で(2)が関係ないということはあまりありません。
＜2018＞の下2桁を答えなさいと言うことですが，まずは(2)を使うのではないかと考えます。
(2)では＜○＋10＞＋＜○＞＝(100の倍数)とよみとれます。
これは＜○＞の下2桁をNとすると、＜○＋10＞の下2桁は100－Nと解釈できます。
すると＜○＋10＞＋＜○＋20＞＝(100の倍数)も成り立つので＜○＋20＞の下2桁はNとわかり周期は20です。
2018÷20＝100あまり18
より＜2018＞の下2桁は＜18＞の下2桁と同じです。
さらに＜8＞＝256からこの下2桁は56
＜18＞の下2桁は100-56＝44
なので＜2018＞の下2桁は44とわかります。
(4)(3)と同じようにできないか考えてみます。
992や872という数字ではピンとこないで逆を考えてみます。
1000－992＝8，1000－872＝128
これは＜3＞と＜7＞ですね。
992＋8＝1000から
＜53＞＋＜3＞＝(1000の倍数)
より
＜○＋50＞＋＜○＞＝(1000の倍数)
とわかりました。
と言うことは同じように＜○＞の下3桁がNならば，＜○＋50＞の下3桁は1000－N，＜○＋100＞の下3桁はNで周期100です。
＜7＞＝128と872＋128＝1000より
＜50＋7＞＝＜57＞の下3桁は1000－128＝872とわかります。
周期100なので＜57＋100＞＝＜157＞の下3桁も872とわかります。
(注…数学的な背景としては
まず余りをマイナスまで拡張して考えて，＜0＞＝1と定義します。
aのb乗をa^bと書くことにします。
また10＝2×5，100＝(2の2乗)×25，1000＝(2の3乗)×125より5，25，125で割ったあまりを考えます。
さらに二項定理の展開を考えて
(pm＋r)^p＝Σ(k＝2～p)pCk・(pm)^k・r^(p－k)＋pm・pC1・r^(p－1)＋pC0・r^p＝(p^2の倍数)＋r^p
より
((pで割るとあまりがrの自然数)^pをp^2で割ったあまり)＝(r^pをp^2で割ったあまり)
であることを使います。
2^2＝4は5で割ったあまりは－1
2^10＝(2^2)^5＝(5で割るとあまり－1)^5を25で割ったあまりが－1
2^50＝(2^10)^5＝(25で割るとあまり－1)^5を125で割ったあまりが－1であることから
＜2＞＋＜0＞＝(10の倍数)より＜○＋2＞＋＜○＞＝(10の倍数)
＜10＞＋＜0＞＝(100の倍数)より＜○＋10＞＋＜○＞＝(100の倍数)
＜50＞＋＜0＞＝(1000の倍数)より＜○＋50＞＋＜○＞＝(1000の倍数)
となります。)
具体的に計算して実験してみたり、前の問いが誘導になっていないか？麻布の最後の問題らしい問題なので麻布対策に練習してみてください(畠田)
