今回は筑波大学附属駒場中学校の問題を取り上げます。
【入試資料分析】
倍率は例年並みです。
受験者数624人で合格者129人の倍率4.84倍
筑駒では最高点と最低点しか発表されていませんが、今年は最低点がここ10年でもっとも低かったです。
算数、国語、理科、社会、調査書、各100点ずつの500点満点で最高388点、最低322点
算数の問題は難しい問題というわけではなく素早い処理が求められる筑駒らしい問題でした。
ただし大問2問は書き上げた人と，問題のアプローチの仕方がわかった人でかかった時間と正解率に差が出たかもしれません。
大問4がすぐに出来ることを考えると，大問2などに時間をとられてしまって大問4にかける時間がないと点数がとれないので筑駒の過去問で戦略を研究して慣れておくことが重要です。
目標は8割です。
筑駒の傾向にあわせた対策と，時間配分を意識して練習していけば合格点とれます！
【問題分析】
○大問1
筑駒の問題は小さい数で書き下して規則性を見つけて，他の数の場合にあてはめるのが基本です。
非常に筑駒らしい処理になり，満点を狙いたいところです。
看板の番号と，その看板と0の看板の間の距離は
1…1
2…1/2
3…1/4
4…3/4
5…1/8
6…3/8
7…5/8
8…7/8
9…1/16
10…3/16
11…5/16
12…7/16
13…9/16
14…11/16
15…13/16
16…15/16
これを見ると
1 | 1/2 | 1/4,3/4 | 1/8,3/8,5/8,7/8 | 1/16,3/16,5/16,7/16,9/16,11/16,13/16,15/16|…
のように例えば
4群目の最後は全体で2×2×2＝8番目で，分母が2×2×2＝8で分子は奇数が4個
5群目の最後は全体で2×2×2×2＝16番目で，分母が2×2×2×2＝16で分子は奇数が2×2×2×2＝8個
となるような群数列です。
31の看板は
2×2×2×2＝16,2×2×2×2×2＝32から6群目の中の31－16＝15番目より分母は32で分子は15番目の奇数2×15－1＝29。
したがって29/32kmです。
(2)2019の看板は
(2が10個の積)＝1024,(2が11個の積)＝2048より11群目の中の2019－1024＝995番目より分母は2048，分子は995番目の奇数2×995－1＝1989より1989/2048km
よって東に1989/2048－29/32＝133/2048km
(3)例えば工事3の図を見ると看板0から8までなら1/8kmずつの間隔で並んでいます。
看板0から2048では1/2048kmずつの間隔で並んでいることになるので2019個目の看板は2019－1＝2018に注意して
0の看板から2018/2028＝1009/1024kmのところにあります。
これは1024＝(2が10個の積)より11群目の中の(1009＋1)÷2＝505番目です。
よって10群目の最後は全体で(2が9個の積)＝512番目より全体で512＋505＝1017番目
つまり1017の看板とわかりました。
大問2
この問題を取り上げようと思います。
大問3
(1),(2)は基礎的な問題で落とせません。
(3)では少し複雑になっていきますが，ちょっと工夫する程度なのであわせたいところです。
(1)赤と白の進んだ長さの差が15mになればよいので
15÷(3.5－2)＝10秒後
白はこのとき2×10＝20m進むので15で割ると20÷15＝1余り5よりAからの距離は5m
(2)(1)より赤と白は10秒ごとに一致します。
赤と青の進んだ長さの和が15cmになればよいので
15÷(3.5+1.3)＝25/8
よって25/8秒ごとに赤と青は一致。
したがって10,20,30,…と25/8,25/8×2,25/8×3,…が最初に一致するのは50なので
50秒後。
このとき白は2×50＝100m進むので100÷15＝6余り10よりAからの距離は10m
(3)(2)より赤と青は25/8ごとに一致
白はAからB,BからAまでそれぞれ15÷1.5＝10秒ずつかかる。
0～10,20～30,40～50,…秒では白が往復せずにAを出発しBに到着した瞬間に再びAで点灯した動きと同じです。
もし白がこのA→Bを繰り返す動きしかないとすると
15÷(3.5－1.5)＝15/2秒ごとに一致
25/8,25/8×2,25/8×3,…と15/2,15/2×2,15/2×3,…が最初一致するのは75/2より75/2秒ごとに一致する。
実際は0～10,20～30,40～50,…秒の間だけなのでこの場合に最初に一致するのは37.5×5=187.5秒
10～20,30～40,50～60,…秒では白が往復せずにBを出発しAに到着した瞬間に再びAで点灯した動きと同じです。
もし白がこのB→Aを繰り返す動きしかないとすると
15÷(3.5＋1.5)＝3秒ごとに一致
25/8,25/8×2,25/8×3,…と3,6,9,…が最初一致するのは75より75秒ごとに一致する。
実際は10～20,30～40,50～60,…秒の間だけなのでこの場合に最初に一致するのは75秒です。
よって75秒とわかりました。
このとき赤は3.5×75＝262.5m進むのでAからの距離は262.5÷15＝17余り7.5から7.5m
○大問4
(1),(2)は基本的で落とせません。(3)も△ABC＋扇形としてしまいそうですが筑駒受けるならばこの程度はミスがないようにとりたいですね。
(1)(ア)の操作後のAの位置をA’とするとCA＝CA’＝AA’で正三角形なので
30°＋60°＋60°＝150°
(2)(ア)(イ)(ウ)の操作でBAはAを中心に150°回転し
Aは半径5cm、中心角60°×2＝120°度の円弧をえがきます。
150°と360°の最小公倍数は150°×12=1800°より(ア)(イ)(ウ)を12回繰り返します。
2×5×3.14×120°/360°×12＝12.56cm
(3)
回転させると図のように点Bの回転による弧BB’は線分ABから飛び出すので注意してください。
きっちり点Cを中心にそれぞれの点を60°回転させましょう。
弧BB’と線分ABとの交点をDとするとCB＝CD,∠DBC＝75°より∠DCB＝30°とわかり30°問題なので△ABCの面積と△DBCの面積はわかります。
求める面積は
(扇形CBD)＋(扇形CAA’)＋(△ABC－△CBD)
＝2.6×2.6×3.14×30°/360°＋5×5×3.14×60°/360°＋(5×5÷4－2.6×2.6÷4)
＝19.4122cm^2
(問題)2019年度 筑波大学附属駒場中学校 算数 大問2
長さが1cmのまっすぐな線をいくつか紙にかいて図形をつくります。
紙から鉛筆をはなさずに，この図形上のある1点Aから，すべての線をなぞってAに戻ることを考えます。
例えば，4本の線でつくった図形1は，Aからすべての線を1回ずつなぞってAに戻れます。このとき，なぞった線の長さは4cmです。
また，(あ)～(き)の7本の線でつくった図形2は，Aからすべての線を1回ずつなぞってAに戻ることはできませんが，(え)の線を2回なぞれば，他の線を1回ずつなぞってAに戻れます。このとき，なぞった線の長さは8cmです。
次の問いに答えなさい。
なお，すべての線をなぞってAに戻るまでの間で，Aを何度通ってもよいものとします。
(1)
(ア)～(コ)の10本の線でつくった図形3には，そのうち2本の線を2回，他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る，長さ12cmのなぞり方があります。
このとき，2回なぞる2本の線の選び方は2通ります。
それぞれの選び方で，2回なぞる2本の線はどれですか。
2回なぞる2本の線の組み合わせを，(ア)～(コ)の記号で答えなさい。
(2)
12本の線でつくった図形Aには，そのうち4本の線を2回，他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る，長さが16cmのなぞり方があります。このとき，2回なぞる4本の線の選び方は何通りありますか。
(3)
17本の線でつくった図形5には，そのうち5本の線を2回，他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る，長さが22cmのなぞり方があります。このとき，2回なぞる5本の線の選び方は何通りありますか。
[解説]
一筆書きの問題です。
奇数本交わるところを奇点、偶数本交わるところを偶点とすると一筆書きが出来る条件は
○全て偶点である
または
○奇点が2つで奇点からはじまる
です。
この問題の場合は，Aからスタートするので全て偶点になればよいことになります。
一筆書きの問題のようにきっちり基本的事項は抑えているか，整理の仕方などが問われています。
(1)だけは落としてはいけません。
(2)と(3)どちらかは正解しておきたいです。
(1)
奇点(赤色)が4つあるので，ここが偶点になるように2本線を入れて結びます。
緑の㋑と㋘，青の㋔と㋕
の2つになります。
(2)
奇点がE,B,C,Dの4つあるので，ここが偶点になるように4本線を入れます。
Bは点Eか点Cか点Dと結ぶことになります。
BとE，CとDを結ぶ時，それぞれ青の場合と緑の場合の2通りずつで2×2＝4通り
BとC，EとDを結ぶ時，それぞれ青の場合と緑の場合の2通りずつで2×2＝4通り
BとD，CとEを結んだ時の1通りを2重に数えてるので4＋4－1＝7通り
(3)
BとG，CとD，EとFを結ぶとき青と緑の2通りずつで2×2＝4通り
BとC，GとF，DとEを結ぶとき青と緑の2通りずつで2×2＝4通り
BとE，GとF，CとDを結ぶとき1通り
よって4＋4＋1＝9通りになります。(畠田)
