今回は神戸女学院中等部をとりあげます。
受験者248名に対して合格者が159名。実質倍率は1.56倍です。
合格最低点は体育実技(20点)を含めて、268点/460点。筆記で6割が目標です！
それでは神戸女学院が好きそうな処理が大変な問題です。
(問題)H30 神戸女学院中等部 算数 大問6
図のように、1辺1cmの正六角形ABDEFと1辺3cmの正三角形XYZがあり、はじめ点Pは点Aに、点Qは点Xにあります。
いま、大小2つのサイコロを同時にふります。
点Pは(小さいサイコロの目の数)×1cmだけ正六角形の周上を右回りに移動し、点Qは(大きいサイコロの目の数)×2cmだけ、正三角形XYZの周上を右回りに移動します。
例えば、1回目の小さいサイコロの目の数が4、大きいサイコロの目の数が2であったとすると、点Pは点Eに、点Qは点Dに移動します。また2回目の小さいサイコロの目の数が3、大きいサイコロの目の数が3であったとすると、2点P、Qは点Bで重なります。
(1)2つのサイコロを同時に1回ふったとき、2点P、Qが重なるようなサイコロの目の出方は何通りありますか。
(2)2つのサイコロを同時にふる操作を2回続けて行ったのち、2点P、Qが点Dで重なっているようなサイコロの目の出方は何通りありますか。
(3)2つのサイコロを同時にふる操作を3回続けて行ったのち、2点P、Qが点Aで重なるのが初めてとなるようなサイコロの目の出方は何通りありますか。
(1回目、2回目に点A以外で重なっていても構いません)
(1),(2)は簡単に書きます。
(1)小さいサイコロの目と点Pの関係は
(1,B),(2,C),(3,D),(4,E),(5,F),(6,A)
大きいサイコロの目と点Qの関係は
(1,C),(2,D),(3,Z),(4,A),(5,B),(6,Y)
なのでA,B,C,Dで重なるの場合が1通りずつの4通りとなります。
(2)2回続けて振って、点PがDに止まるのは(1回目の目)＋(2回目の目)＝3,9より、小さいサイコロの1回目と2回目の目の組み合わせは
(1,2),(2,1),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)の6通り
2回続けて振って、点QがDに止まるのは(1回目の目)＋(2回目の目)＝2,11より、大きいサイコロの1回目と2回目の目の組み合わせは
(1,1),(5,6),(6,5)の3通り
で6×3＝18通りとなります。
(3)途中も含めてAに止まるには点Pは目の和が
(1回目)＝6
(1回目)＋(2回目)＝6,12
(1回目)＋(2回目)＋(3回目)＝6,12,18
点Qは目の和が
(1回目)＝4
(1回目)＋(2回目)＝4,13
(1回目)＋(2回目)＋(3回目)＝4,13
です。
点Qに注目すると(1回目)＋(2回目)＝4,13の時に(3回目)を加えて(1回目)＋(2回目)＋(3回目)＝4,13にすることはできないので3回目以外でAで同時に重なるのは1回目しかないことがわかります。
と言うことは1つの解法として、小さいサイコロの目が
(1回目)＋(2回目)＋(3回目)＝6,12,18
で大きいサイコロの目が
(1回目)＋(2回目)＋(3回目)＝4,13
となる場合のうちから
小さいサイコロの(1回目)＝6、大きいサイコロの(1回目)=4のパターンを除く方法が考えられます。
1回目の目で場合わけすると
小さいサイコロの目
(1回目)＝1のとき
(2回目)＋(3回目)＝5は4通り、(2回目)＋(3回目)＝11は2通り
(1回目)＝2のとき
(2回目)＋(3回目)＝4は3通り、(2回目)＋(3回目)＝10は3通り
(1回目)＝3のとき
(2回目)＋(3回目)＝3は2通り、(2回目)＋(3回目)＝9は4通り
(1回目)＝4のとき
(2回目)＋(3回目)＝2は1通り、(2回目)＋(3回目)＝8は5通り
(1回目)＝5のとき
(2回目)＋(3回目)＝7は6通り
(1回目)＝6のとき
(2回目)＋(3回目)＝6は5通り、(2回目)＋(3回目)＝12は1通り
全部で(4＋3＋2＋1)＋(2＋3＋4＋5＋6＋5)＋1＝36通り
1回目にAである(1回目)＝6は5＋1＝6通り
大きいサイコロの目
(1回目)＝1のとき
(2回目)＋(3回目)＝3は2通り、(2回目)＋(3回目)＝12は1通り
(1回目)＝2のとき
(2回目)＋(3回目)＝2は1通り、(2回目)＋(3回目)＝11は2通り
(1回目)＝3のとき
(2回目)＋(3回目)＝10は3通り
(1回目)＝4のとき
(2回目)＋(3回目)＝9は4通り
(1回目)＝5のとき
(2回目)＋(3回目)＝8は5通り
(1回目)＝6のとき
(2回目)＋(3回目)＝7は6通り
よって全部で(2＋1)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝24通り
1回目にAである(1回目)＝4は4通り
なので36×24－6×4＝840通り
思いつきで数えるのではなくて、漏れなく重複がないように処理の仕方を学んで身に付けることで解けるようになります。
色々な場合の数を勉強しておきましょう！(畠田)
