今回は栄光学園中学校の問題をもう１問とりあげたくなったのでとりあげます。
(問題)H30 栄光学園中学校 大問2
1～10，2～11，…のような連続する10個の整数(1以上の整数)について考えます。
(1) ある連続する10個の整数の平均が34.5のとき，この10個の整数を下の例にならって答えなさい。
(答え方の例)
求めた10個の整数が1～10の場合：(1～10)
(2) 1～10の10個の整数を5個ずつ2つのグループに分け，それぞれの和を計算します。それらの値の差として考えられるものをすべて答えなさい。
(3) 連続する10個の整数を，5個ずつ2つのグループにどのように分けても，それぞれの和の値が等しくなることはありません。その理由を説明しなさい。
次に，連続する10個の整数を1つずつ，式( □＋□＋□＋□＋□)/(□＋□＋□＋□＋□)の□の中に入れ，この式の値を計算します。その値をXとすることにします。
例えば，9～18を(9＋11＋12＋14＋17)/(10＋13＋15＋16＋18)のように入れた場合は，
(9＋11＋12＋14＋17)/(10＋13＋15＋16＋18)＝63/72＝7/8なのでX＝7/8となります。
(4) 考えられるXの値のうち，最も大きい値を答えなさい。
(5) Xの値が整数となるように，□の中に整数を入れなさい。一通りの場合だけ示せばよいものとします。
(6) X＝11/14となるとき，□の中に入れた連続する10個の整数は何ですか。考えられるものをすべて求め，下の例にならって答えなさい。
(答え方の例)
求めた10個の整数が1～10と5～14の場合：(1～10) (5～14)
(1)連続する整数の和は
偶数個×(真ん中二つの平均)
奇数個×(真ん中の整数)
でした。
今回は10個の偶数個で真ん中二つの平均が34.5より真ん中二つは34，35です。
よって30,31,32,33,34,35,36,37,38,39の(30～39)とわかります
(2)このような問題はこれで解けるかはわかりませんが差が最大になるか、最小になる場合を考えてみたりします。
差が最大になるのは(1,2,3,4,5)と(6,7,8,9,10)でわかりやすいですね。
この差は5×5＝25となります。
それではここから数字を交換すると差がどうなるかを実験してみることにします。
5と6を交換するときが一番変化が少ないので5と6を交換すると
(1,2,3,4,6)と(5,7,8,9,10)
小さい方の組が1増えて，大きい方の組が1減るので差は2減って23となります。
そしたら差が24は作れるか気になりますよね。
こういう場合は和を考えてみたり，奇数や偶数を考えてみるとわかることがあります。
2つのグループA,Bの和は1～10まで全て足せばよいのでA＋B＝55です。
これは奇数です。
2つの数の和が奇数であれば，差も奇数でした。
(※A＋B＝A－B＋2×Bで(A＋B)＝(A－B)＋(偶数)でA＋BとA－Bの偶奇は同じ)
よって差が24になることはないので25の次に大きいのは23とわかりました。
今度は4と6を交換すると差は4減るので21
3と6を交換すると差は6減るので19
2と6は17
1と6は15
1と7は13
1と8は11
1と9は9
1と10は7
(1,5)と(6,10)は5
(1,4)と(6,10)は3
(1,3)と(6,10)は1
と色々な組み分けの仕方がありますが具体的に2ずつ減らせる例が作れるので
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25とわかりました。
このように
最大や最小など考える
どう変化していくか調べていって
その値しか取れないことと(必要性)，実際にその値がとれる例があること(十分性)
と言う流れで考えることで解きます。
(3) 前の問題が誘導になっていることがあります。(2)の場合では1～10では2つのグループの差が奇数なので0になることありませんでした。
連続する10個の整数でも同じようにできないかを考えます。
10個の連続する整数は奇数が5つ，偶数が5つあるので総和は
(奇数)×5＋(偶数)＝(奇数)
よって2等分することはできない。
(4) 10個の連続する整数から大きい方から5つを分子に、小さい方から5つを分子に入れたらよいことはわかると思います。
そしてどのような連続する10個の整数の場合かを考えます。
まずは今までの問がヒントになっていることから考えます。
2つのグループの差は大きくて25なので
(Xの分母)＝△
(Xの分子)＝△＋25
の場合を考えることになります。
X＝1＋25/△
となるので△が小さい方がXは大きくなることがわかります。
△が一番小さくなるのは
(分母)＝1＋2＋3＋4＋5＝15
(分子)＝6＋7＋8＋9＋10＝40
の時よりX＝15/40＝3/8とわかります、
(5) さきほど書いたように
「最大や最小など考える
どう変化していくか調べていって
その値しか取れないことと(必要性)，実際にその値がとれる例があること(十分性)」
の流れをやってみます。
(4)が誘導になっていてXの最大値は15/40＝3/8よりXが整数になりうるのは1か2しかありません。
しかも(3)より二等分できなくて分母と分子を等しくすることができないから1はとれないので2の可能性しかありません。
と言うことは1＋25/△＝2より△＝25とわかりました。
例えば連続する5個の整数の和が25になるパターンを考えると真ん中の値は25÷5＝5より
(分母)＝3＋4＋5＋6＋7
(分子)＝8＋9＋10＋11＋12
の場合があります。
(6)同じように分子と分母の和や差を考えてみたりします。
そして具体的に値を書いていきます。
11＋14＝25より和は25の倍数で、しかも奇数なので奇数Aを使って
25×Aとあらわせます
連続する10個の整数は1＋2＋3＋…＋10＝55よりA＝1の25は無理です。
A＝3のとき75になるのは真ん中2つの平均が75÷10＝7.5より3～12
A＝5のとき125になるのは真ん中2つの平均が125÷10＝12.5より8～17
A＝7のとき175になるのは真ん中2つの平均が175÷10＝17.5より13～22
同様に，A＝9：18～27，A＝11：23～32，…
また差は14－11＝3から3×Aとあらわせます。
A＝3の時，3～12，差は9
A＝5の時，8～17，差は15
A＝7の時，13～22，差は21
A＝9の時，18～27，差は27
A＝11の時，23～32，差は33
…
さらに差は(2)より25以下の奇数は全て作ることができたので
A＝3の時，3～12，差は9
A＝5の時，8～17，差は15
A＝7の時，13～22，差は21
で決まり
(3～12),(8～17),(13～22)
となります。
この問題はハイレベルな問題で必要な考え方や，論理を使います。過去問などで勉強して慣れていけば大丈夫です(畠田)
