今回もラ・サールの問題をもう一つとりあげたいと思います。
立体図形の問題で、難しいわけではないけど切り口がどのようになるか考えていく過程にポイントがあります。
(問題)H30 ラ・サール中学校 算数 大問6
図のような立方体の頂点Aから、3つの点P,Q,Rが同時に出発し、PはA-B-C-G、QはA-D-H-G,RはA-E-F-Gの順に、それぞれ辺上を同じ一定の速さで移動して、12秒後に点Gに着きます。3点P,Q,Rを通る平面でこの立方体を切ったときの切り口の面積をSとするとき、出発して4秒後のSは12㎠でした。このとき、次の場合のSは何㎠ですか。
(1)出発して3秒後
(2)出発して6秒後
(3)出発して7秒後
(1)12秒で3辺分進むので，4秒で1辺分進みます。
図において4秒後は青い三角形，3秒後は黒い三角形になるので相似比は
(青い三角形)：(黒い三角形)＝4：3
面積の比は
(青い三角形の面積)：(黒い三角形の面積)＝4×4：3×3
＝16：9
よって青い三角形の面積は12㎠から
(黒い三角形の面積)＝12×9/16
＝6.75㎠
(2)6秒後の動点は辺の中点になりますが，どれも同じ平面上にないので切り口を考えるのが難しいです。
そこでRとPの2点を結んだ線分を延長して面DHGCを含む平面との交点と点Qを結ぶとDCの中点(赤い点)を通ることがわかります。
ここまでこれば，正六角形になるとわかりますね。
(赤の正三角形の1辺の長さ)：(青の正六角形の1辺の長さの)＝1：2
です。
よって図より小正三角形の個数に注目して
(赤の正三角形の面積)：(青の正六角形の面積)＝4：6＝2：3
(青の正六角形の面積)＝12×3/2＝18㎠
となります。
(3)同じように7秒後を考えたらよいわけですが、ここで(1)(2)から3秒後と4秒後と6秒後の切り口は全て平行になっていることに注目して解いてみます。
8秒後も切り口は平行になります。
と言うことは図のように3：1となる点を結んだ緑の平面になることがわかります。
小正三角形の個数を数えて
(青の正三角形の面積)：(緑の六角形の面積)＝16:22
＝8：11
よって
(緑の六角形の面積)＝12×11/8
＝16.5㎠
とわかりました。
わかりやすい値で具体的に切り口を考えてみると、解法の糸口がつかめて途中の切り口が見えてきます。
このようなアプローチの仕方も取り入れてみると、点数につながります(畠田)
